距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．
補題
距離空間 $(X, d)$ の点列 $\{ x _ {n} \}$ と一様連続関数 $f \colon X \to \mathbb{R}$ に対して，$\{ x _ {n} \}$ が Cauchy 列ならば，$\{ f(x _ {n}) \}$ も Cauchy 列である．
証明
$\varepsilon > 0$ を任意にとる．一様連続性から「任意の $x, y \in X$ に対して，$d(x, y) < \delta$ ならば $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$」となるように $\delta > 0$ をとれる．$\{ x _ {n} \}$ が Cauchy 列なので「任意の $n > n _{0}$ に対して $d(x _ {n}, x _ {n _ {0}}) < \delta$」となるように $n _ {0} \in \mathbb{N}$ をとれる．このとき，任意の $n > n _ {0}$ に対して $|f(x _ {n}) - f(x _ {n _ {0}})| < \varepsilon$ が成り立つ．したがって，$\{ f(x _ {n}) \}$ も Cauchy 列である．
定理
距離空間 $(X, d)$ 上に定義された一様連続関数 $f \colon X \to \mathbb{R}$ は $(X, d)$ の完備化 $(\hat{X}, \hat{d})$ 上の一様連続関数 $\hat{f} \colon \hat{X} \to \mathbb{R}$ に一意的に拡張できる．
証明
$X$ は $\hat{X}$ の稠密な部分集合として埋め込めるから，$x \in \hat{X}$ に収束する $X$ の点列 $\{ x _ {n} \}$ がとれる．$\{ x _ {n} \}$ は収束するから，Cauchy 列であり，補題より $\{ f(x _ {n}) \}$ も Cauchy 列である．$\mathbb{R}$ の完備性より，$\{ f(x _ {n}) \}$ は収束し，その収束先は点列 $\{ x _ {n} \}$ のとり方によらないから，$\hat{f}$ を $\hat{f} (x) = \displaystyle \lim _ {n \to \infty} f (x _ {n})$ で定義できる．また，距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるから，この拡張は一意的である．
系
$(X, d)$ を距離空間，その完備化を $(\hat{X}, \hat{d})$ とし，それぞれの上で定義される一様連続関数全体の空間を $U(X), U(\hat{X})$ とすると，一様収束位相に関して，$U(X)$ と $U(\hat{X})$ は同相である．
証明
上で定義した拡張 $f \mapsto \hat{f}$ が同相写像になっていることを示す．全単射であることと逆写像 $\hat{f} \mapsto \hat{f}| _ {X}$ が連続であることは自明なので，$f \mapsto \hat{f}$ が連続であることだけが問題である．つまり，$f _ {n}$ が $f$ に一様収束するとき， $\hat{f} _ {n}$ も $\hat{f}$ に一様収束することを示せばよい．任意の連続関数 $\hat{g} \colon \hat{X} \to \mathbb{R}$ に対して，$\hat{g}(\hat{X}) \subset \overline{g(X)}$ であり，任意の $A \subset \mathbb{R}$ に対して，$\sup \overline{A} = \sup A$ であるから， $$ \sup \hat{f}(\hat{X}) \leq \sup \overline{f(X)} = \sup f(X) $$ が成り立つ．$\sup f(X) \leq \sup \hat{f}(\hat{X})$ は明らかなので，$\sup f(X) = \sup \hat{f}(\hat{X})$ である．このことから，$f _ {n}$ が $f$ に一様収束するとき， $\hat{f} _ {n}$ も $\hat{f}$ に一様収束することがわかる．
参考
Aliprantis, Charalambos D., Border, Kim, Infinite Dimensional Analysis
