概要
位相が強くなると，
位相の定義
集合 $X$ が与えられたとき，位相の定め方はいろいろあるが，ここでは以下で定義される開集合系 $\mathcal{O}$ のことを単に位相と呼ぶことにする．
$X$ の部分集合族 $\mathcal{O}$ が開集合系であるとは，次の $3$ 条件を満たすことをいう．
- $\phi \in \mathcal{O}$ かつ $X \in \mathcal{O}$
- $O _ {1}, O _ {2} \in \mathcal{O}$ ならば $O _ {1} \cap O _ {2} \in \mathcal{O}$
- $O _ {\lambda} \in \mathcal{O}\ (\lambda \in \Lambda)$ ならば $\bigcup _ {\lambda \in \Lambda} O _ {\lambda} \in \mathcal{O}$
$\mathcal{O} _ {1} \subset \mathcal{O} _ {2}$ のとき，$\mathcal{O} _ {1}$ が定める位相よりも $\mathcal{O} _ {2}$ が定める位相の方が強い，という．
あらゆる集合に定まる最弱の位相は $\mathcal{O} = \{ \phi, X \}$ によって定まる位相で，これを密着位相という．
逆に，最強の位相は $X$ の部分集合全体を開集合系とする位相で，これを離散位相という．
点列の収束
位相空間 $(X, \mathcal{O})$ において，$N \subset X$ が $x \in X$ の近傍であるとは，$x \in O \subset N$ なる開集合 $O \in \mathcal{O}$ が存在することをいう．
$\mathcal{O} _ {1} \subset \mathcal{O} _ {2}$ のとき，$N$ が $\mathcal{O} _ {1}$ の意味で $x$ の近傍なら，$\mathcal{O} _ {2}$ の意味でも近傍である．
点列 $\{ x _ {n} \} \subset X$ が $x \in X$ に収束するとは，$x$ の任意の近傍 $N$ に対して，ある自然数 $n _ {0}$ が存在し，任意の $n \geq n _ {0}$ に対して $x _ {n} \in N$ となることをいう．
位相が強くなると，点列は収束しにくくなる．つまり，$\mathcal{O} _ {1} \subset \mathcal{O} _ {2}$ のとき，点列 $\{ x _ {n} \}$ が $\mathcal{O} _ {2}$ の意味で $x$ に収束するならば，$\mathcal{O} _ {1}$ の意味でも収束する．
証明（クリックで展開）
点列 $\{ x _ {n} \}$ が $\mathcal{O} _ {2}$ の意味で $x$ に収束すると仮定する．
$\mathcal{O} _ {1}$ の意味での $x$ の近傍 $N$ を任意にとると，$x \in O \subset N$ なる $O \in \mathcal{O} _ {1}$ がとれる．このとき $O \in \mathcal{O} _ {2}$ だから $N$ は $\mathcal{O} _ {2}$ の意味でも $x$ の近傍である．仮定より，ある自然数 $n _ {0}$ が存在し，任意の $n \geq n _ {0}$ に対して $x _ {n} \in N$ となるから，$\{ x _ {n} \}$ は $\mathcal{O} _ {1}$ の意味でも $x$ に収束する．
例えば，密着位相では，任意の点列が任意の点に収束する．実際，任意の点 $x$ の近傍は $X$ しかなく，任意の 点列 $\{ x _ {n} \}$ について任意の $n$ に対して $x _ {n} \in X$ だから，$\{ x _ n \}$ は $x$ に収束する．
逆に，離散位相では，$x$ の近傍として，一点集合 $\{ x \}$ をとることができるので，$x$ に収束する点列は，ある自然数 $n _ {0}$ が存在して任意の $n \geq n _ {0}$ に対して $x _ {n} = x$ となるようなものだけである．
写像の連続性
$2$ つの位相空間 $(X, \mathcal{O} _ {X})$ と $(Y, \mathcal{O} _ {Y})$ において，写像 $f \colon X \rightarrow Y$ が連続であるとは，任意の $O \in \mathcal{O} _ {Y}$ に対して，$f ^ {- 1} (O) \in \mathcal{O} _ {X}$ となることをいう．
まず，$Y$ の位相を固定して，$X$ の位相が強くなると，写像は連続になりやすくなる．つまり，$\mathcal{O} _ {X, 1} \subset \mathcal{O} _ {X, 2}$ のとき，$f$ が $\mathcal{O} _ {X, 1}$ の意味で連続ならば，$\mathcal{O} _ {X, 2}$ の意味でも連続である．
逆に，$X$ の位相を固定して，$Y$ の位相が強くなると，写像は連続になりにくくなる．つまり，$\mathcal{O} _ {Y, 1} \subset \mathcal{O} _ {Y, 2}$ のとき，$f$ が $\mathcal{O} _ {Y, 2}$ の意味で連続ならば，$\mathcal{O} _ {Y, 1}$ の意味でも連続である．
例えば，$\# X > 1$ として，恒等写像 $\mathrm{id} \colon X \rightarrow X$ を考えたとき，終域の $X$ には離散位相でも密着位相でもない位相を入れたとして，始域の $X$ に密着位相を入れると， $\mathrm{id}$ は連続ではないが，始域の $X$ に離散位相を入れると， $\mathrm{id}$ は連続になる．
ハウスドルフ性
位相空間 $(X, \mathcal{O})$ がハウスドルフ空間であるとは，任意の $x, y \in X$ に対して，開集合 $A, B \in \mathcal{O}$ が存在して，$x \in A, y \in B$ とできることをいう．
位相が強くなると，ハウスドルフ空間になりやすくなる．つまり，$\mathcal{O} _ {1} \subset \mathcal{O} _ {2}$ のとき，$X$ が $\mathcal{O} _ {1}$ の意味でハウスドルフ空間ならば，$\mathcal{O} _ {2}$ の意味でもハウスドルフ空間である．
例えば，$\# X > 1$ として，$X$ に密着位相を入れると，ハウスドルフ空間にならない．逆に離散位相を入れると，ハウスドルフ空間になる．
コンパクト性
位相空間 $(X, \mathcal{O})$ において，$A \subset X$ がコンパクトであるとは，$A \subset \bigcup _ {\lambda \in \Lambda} O _ {\lambda}$ なる任意の $\{ O _ {\lambda} \} \subset \mathcal{O}$ に対して，ある $\lambda _ {1} , \ldots , \lambda _ {n} \in \Lambda$ が存在して，$A \subset O _ {\lambda _ {1}} \cup \cdots \cup O _ {\lambda _ {n}} $ が成り立つことをいう．
位相が強くなると，$A$ はコンパクトになりにくくなる．つまり，$\mathcal{O} _ {1} \subset \mathcal{O} _ {2}$ のとき，$A$ が $\mathcal{O} _ {2}$ の意味でコンパクトならば，$\mathcal{O} _ {1}$ の意味でもコンパクトである．
例えば，$\# X > 1$ として，$X$ に密着位相を入れると，任意の $A \subset X$ はコンパクトである．逆に離散位相を入れると，$A$ が無限個の点をもつならば，$\Lambda = A, O _ {\lambda} = \{ a \}$ とすることで $A \subset \bigcup _ {\lambda \in \Lambda} O _ {\lambda}$ とできて，ここから有限個を取り出すことができないから，$A$ はコンパクトでない．
可算性
位相空間 $(X, \mathcal{O})$ が可分であるとは，$A \subset F$ なる閉集合 $F$ が $X$ だけになるような可算集合 $A \subset X$ が存在することをいう．
位相が強くなると，可算になりにくくなる．つまり，$\mathcal{O} _ {1} \subset \mathcal{O} _ {2}$ のとき，$X$ が $\mathcal{O} _ {2}$ の意味で可算ならば，$\mathcal{O} _ {1}$ の意味でも可算である．
証明（クリックで展開）
$X$ が $\mathcal{O} _ {2}$ の意味で可算であると仮定する．$A \subset F$ なる $\mathcal{O} _ {2}$ の意味での閉集合 $F$ は $X$ だけであるような可算集合 $A \subset X$ をとる．$\mathcal{O} _ {1}$ の意味で閉集合なら $\mathcal{O} _ {2}$ の意味でも閉集合であるから，$A \subset F$ なる $\mathcal{O} _ {1}$ の意味での閉集合 $F$ も $X$ だけである．したがって，$X$ が $\mathcal{O} _ {1}$ の意味でも可算である．
例えば，$X$ が非可算集合であるとして，密着位相を入れると，$X$ は可分である．実際，任意の $x \in X$ に対して，$\{ x \} \subset F \subset X$ なる $F$ は $X$ だけである．逆に，離散位相を入れると，どんな可算集合 $A \subset X$ に対しても $A$ が閉集合なので，$X$ は可分でない．
