確率密度関数の各点収束から確率変数の分布収束を導く。
定理
可測空間 $(S,\mathcal{B})$ 上の確率変数 $X _ n, X$ の測度 $\mu$ に関する密度関数をそれぞれ $f _ n, f$ とする。$f _ n$ が $f$ に、$\mu$ に関してほとんど至る所収束するならば、$X _ n$ は $X$ に分布収束する。
証明
任意の $B \in \mathcal{B}$ に対して $P(X _ n \in B)$ が $P(X \in B)$ に収束することを示せばよい。
$\mathrm{max} \{a, 0\}$ を $a^{+}$ と表すとき、一般に $a,b \in \mathbb{R}$ に対して $|a - b | \leq a - b + 2 (b - a) ^ {+} $ が成り立つことから、
$$
\begin{aligned}
&\left| P(X _ n \in B) - P(X \in B) \right| \\
=&\left| \int _ B f _ n \mathrm{d}\mu - \int _ B f \mathrm{d}\mu \right| \\
\leq & \int _ B \left| f _ n - f \right| \mathrm{d}\mu \\
\leq & \int _ S \left| f _ n - f \right| \mathrm{d}\mu \\
\leq & \int _ S \left( f _ n - f \right) \mathrm{d}\mu
+ 2 \int _ S \left( f - f _ n \right) ^ {+}\mathrm{d}\mu
\end{aligned}
$$
$f _ n, f$ は密度関数なので、 $$ \int _ S \left( f _ n - f \right) \mathrm{d}\mu = 0 $$ また、$( f - f _ n) ^ {+} \leq f$ で $f$ は可積分なので、$( f - f _ n) ^ {+}$ がほとんど至る所 $0$ に収束することと優収束定理により、 $$ \int _ S \left( f - f _ n \right) ^ {+}\mathrm{d}\mu \rightarrow 0 $$ したがって、 $$ \left| P(X _ n \in B) - P(X \in B) \right| \rightarrow 0 $$
